Question

a为正整数．记号[2a+1，2a+2，2a+3]表示2a+1，2a+2，2a+3的最小公倍数，以N表示它，若2a+4整除N，求a．

Answer

利用已知得出一定是整数，利用整除的性质，得出一定有（2a+1）=k（a+2），或a+1=k（a+2）或2a+3=k（a+2）；k为正整数，结合不等式的性质得出a的值．
【解析】
∵2a+1，2a+2，2a+3的最小公倍数是N，
∴可得到：（2a+1）（a+1）（2a+3）=N，
又因为2a+4整除N，
∴一定是整数，
∴一定有（2a+1）=k（a+2），或a+1=k（a+2）或2a+3=k（a+2）；
当（2a+1）=k（a+2），k为正整数，
∴（2-k）a=2k-1
a=，∵a为正整数，
∴2-k≥2k-1，∴k≤1，又∵k＞0，且为正整数，
∴k=1，代入上式得：a=1；
当a+1=k（a+2），k为正整数，
∴（1-k）a=2k-1
∴a=，∵a为正整数，
∴2k-1≥1-k，∴k≥，
又∵（1-k）＞0，且为正整数，
∴k＜1，∴≤k＜1．
∴没有正整数k符合要求；
当2a+3=k（a+2），k为正整数，
∴（2-k）a=2k-3
∴a=，∵a为正整数，
∴2k-3≥2-k，∴k≥
又∵（2-k）＞0，且为正整数，
∴k＜2，∴≤x＜2；
∴没有正整数k符合要求．
综上所述：a=1．