Question

若a₁，a₂，…，a_n是1，2，…，n的任意一个排列（n是奇数），则（a₁-1）（a₂-2）…（a_n-n）是偶数．

Answer

由a1，a2，…，an是1，2，…，n的任意一个排列（n是奇数），可得a1+a2+…+an=1+2+…+n，（a1-1）+（a2-2）+…+（an-n）=0是偶数，根据奇数个数的和为偶数，则其中必至少有一个是偶数的性质即可证明．
证明：∵a1，a2，…，an是1，2，…，n的任意一个排列（n是奇数），
∴a1+a2+…+an=1+2+…+n，
∴（a1-1）+（a2-2）+…+（an-n）=0是偶数，
∴（a1-1），（a2-2），…，（an-n）中必至少有一个是偶数，
∴（a1-1）（a2-2）…（an-n）是偶数，
即证之．