Question

设n是满足下列条件的最小正整数，它们是75的倍数且恰有75个正因数因子（包括1和本身），求．

Answer

先把75化为75=3×52的形式，可知N必含有质因数3、5，且质因数5的个数至少为2，再根据约数个数公式可知n含有3个不同质因数，次数分别为2、4、4次，即N可表达为：N=x2×y4×z4，再根据n最小即可得出x、y、z的值，进而可得出答案．
【解析】
∵75=3×52，
∴n必含有质因数3、5，且质因数5的个数至少为2．
根据约数个数公式75=3×5×5=（2+1）×（4+1）×（4+1）即知，n含有3个不同质因数，次数分别为2、4、4次．
∴n可表达为：n=x2×y4×z4，
要使n最小，显然x=5，y=3、z=2，
即n=52×34×24=25×81×16=32400，
∴=5×33×24=33×24=432．
故答案为：432．