Question

如图，正六边形ABCDEF中，P是ED上一点，直线DC与射线AP，AB相交于M，N．当△AMN面积与正六边形ABCDEF面积相等时，=    ．

Answer

先连接AE，过F作FG⊥AE于G，由等腰三角形的性质及锐角三角函数的定义可求出AE的长，再设正六边形ABCDEF的边长为a，△NPD的高为h，根据ED∥AM可知△NED∽△NAM，再根据正六边形内角的度数可得出△BMC是等边三角形，即AM=2a，再由△AMN面积与正六边形ABCDEF面积相等即可求出h的值，再根据相似三角形的对应边成比例即可求解．
【解析】
先连接AE，过F作FG⊥AE于G，
∵六边形ABCDEF是正六边形，设正六边形ABCDEF的边长为a，△NPD的高为h，
∴AE=2EG=2×EF×cos∠AEF=2×a×=a，
S正六边形ABCDEF=6×a×=，
∵∠ABC=∠BCD=120°，
∴∠CBM=∠BCM=60°，
∴△BMC是等边三角形，
∴BM=a，
∵△AMN面积与正六边形ABCDEF面积，
∴S△AMN=AM•（AE+h）=×2a（a+h）=，
∴h=，
∵ED∥AB，
∴△NPD∽△NAM，
∴=，即=，
解得PD=，
∴PE=a，
∴=．
故答案为：．