Question

小明是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学，一天他在解方程x²=-1时，突发奇想：x²=-1在实数范围内无解，如果存在一个数i，使i²=-1，那么若x²=-1，则x=±i，从而x=±i是方程x²=-1的两个根．据此可知：①i可以运算，例如：i³=i²•i=-1×i=-i，则i²⁰¹¹=    ，②方程x²-2x+2=0的两根为     （根用i表示）

Answer

（1）根据题中规律可知i1=1，i2=-1，i3=-i，i4=1，可以看出4个一次循环，可以此求解．
（2）把方程x2-2x+2=0变形为（x-1）2=-1，根据题目规律和平方根的定义可求解．
【解析】
（1）i2011=i502×4+3=-i．
（2）x2-2x+2=0
（x-1）2=-1
x-1=±i
x=1+i或x=1-i．
故答案为：-i；1±i．