Question

如图（1）至图（3），C为定线段AB外一动点，以AC、BC为边分别向外侧作正方形CADF和正方形CBEG，分别作DD₁⊥AB、EE₁⊥AB，垂足分别为D₁、E₁．当C的位置在直线AB的同侧变化过程中，
（1）如图（1），当∠ACB=90°，AC=4，BC=3时，求DD₁+EE₁的值；
（2）求证：不论C的位置在直线AB的同侧怎样变化，DD₁+EE₁的值为定值；
（3）求证：不论C的位置在直线AB的同侧怎样变化，线段DE的中点M为定点．

Answer

（1）由正方形与垂线的性质，易证得：△DD1A∽△ACB，△EE1B∽△BCA，又由相似三角形的对应边成比例，即可求得DD1与EE1的长，则可求得DD1+EE1的值；
（2）定线段AB长为定值；猜想DD1+EE1=AB；过点C作CH⊥AB，垂足为H；再通过两对全等三角形来证明DD1+EE1=AB即可；
（3）利用“梯形的中位线长等于两底和的一半”，设M为DE的中点，Q为D1E1的中点，MQ=AB且MQ⊥AB，特殊地，当四边形DD1E1E为矩形时，以上结论仍然成立．又因为可证明D1A=E1B，所以D1E1的中点就是AB的中点．所以，不论C的位置在直线AB的同侧怎样变化，线段DE的中点M为定点，此定点M恒在“点C的同侧，与AB的中点Q距离为长的点上”．
【解析】
（1）∵DD1⊥AB、EE1⊥AB，
∴∠DD1A=∠EE1B=∠ACB=90°，
∵四边形ACFD与BEGC是正方形，
∴∠DAC=∠CBE=90°，
∴∠DAD1+∠CAB=∠CAB+∠CBA=∠CBA+∠EBE1=90°，
∴∠DAD1=∠ABC，∠EBE1=∠BAC，
∴△DD1A∽△ACB，△EE1B∽△BCA，
∴，，
∴，；
∴DD1+EE1=5；

（2）过点C作CK⊥AB于K，
∵DD1⊥AB、EE1⊥AB，
∴∠DD1A=∠EE1B=∠AKC=∠BKC=90°，
∴∠DAD1+∠CAB=∠CAE+∠ACK=∠CBK+∠BCK=∠CBK+∠EBE1=90°，
∴∠DAD1=∠ACK，∠EBE1=∠BCK，
∵AD=AC，BC=BE，
∴△ADD1≌△CAK，△EBE1≌△BCK，
∴DD1=AK，EE1=BK，
∴DD1+EE1=AB，
∴不论C的位置在直线AB的同侧怎样变化，DD1+EE1的值为定值；

（3）设M为DE的中点，Q为D1E1的中点，
则：且MQ⊥AB，
当四边形DD1E1E为矩形时，以上结论仍然成立．
∴△ADD1≌△CAK，△EBE1≌△BCK，
又∵D1A=CK=E1B，
∴D1E1的中点就是AB的中点．
∴不论C的位置在直线AB的同侧怎样变化，线段DE的中点M为定点，
∴此定点M恒在“点C的同侧，与AB的中点Q距离为长的点上”．