Question

如图，在Rt△ABC中，AB是斜边，点P在中线CD上，AC=3cm，BC=4cm，设P、C的距离为xcm，△APB的面积为ycm²，求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围．

Answer

根据勾股定理求出AB的长，然后过P点作PH⊥AB交AB于H，过C点作CM⊥AB交AB于M，求证△ACB∽△AMC，利用其对应边成比例求得CM的长，再利用CM∥BH，求出PH，代入即可．
【解析】
在Rt△ABC中，AB===5，
∵AD=BD，∴CD=AB=，
∵PC的长为x，∴PD=-x，
过P点作PH⊥AB交AB于H，过C点作CM⊥AB交AB于M，
∵△ACB∽△AMC
∴=，∴CM==，
∵CM⊥AB，PH⊥AB，∴CM∥BH，
∴=，∴PH===-x．
S△APB=y=AB•BH=×5×（-x），
∴y=-x+6，
∴0＜x＜．
答：y与x的函数关系式是y=-x+6，
自变量x的取值范围为0＜x＜．