Question

已知抛物线y=x²+px+q上有一点M（x，y）位于x轴下方．
（1）求证：此抛物线与x轴交于两点；
（2）设此抛物线与x轴的交点为A（x₁，0），B（x₂，0），且x₁＜x₂，求证：x₁＜x＜x₂．

Answer

（1）由于要证明即抛物线与x轴交于两点，就是要证△=p2-4q＞0即可求解；
（2）由于此抛物线与x轴的交点为A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，要证明x1＜x＜x2即要证（x-x1）（x-x2）＜0即可，而这个不等式利用根与系数的关系即可求解．
【解析】
（1）∵y=x2+px+q上有一点M（x，y）位于x轴下方，
∴y=x2+px+q=（x+）2-＜0，
∴＞（x+）2≥0，
∴p2-4q＞0，
∴△＞0，
∴此抛物线与x轴交于两点；

（2）∵x1+x2=-p，
x1•x2=q，
∴y=x2+px+q=x2-（x1+x2）x+x1•x2＜0，
∴（x-x1）（x-x2）＜0，
故x1＜x＜x2．