Question

求两个不同的自然数，其算术平均数A和几何平均数G（指两数积的算术平方根）都是两位数，且A，G中一个可由另一个变换十位数字与个位数字得到．

Answer

首先设两个不同的自然数x，y，根据题意可表示出A与G的值，即可求得以x，y为两根的二次方程，则可确定判别式△的取值，再设两位数A=10m+n，则G=10n+m（m，n是数字），代入判别式△，由△是完全平方数，即可列得方程组，求解方程组，则可求得答案．
【解析】
设两个不同的自然数x，y，
则A=，G=，
∴，
∴以x，y为两根的二次方程：t2-2At+G2=0，
∵x，y是自然数，
∴△=（2A）2-4G2=4（A2-G2）=4（A+G）（A-G），
又设两位数A=10m+n，则G=10n+m（m，n是数字），
∴△=4（11m+11n）（9m-9n）=36×11×（m+m）（m-n）是完全平方数，
又∵1＜m+n≤18，0＜m-n≤8，
∴（不合）
解得m=6，n=5．
∴A=65G=56t2-130t+562=0，
解得t1=98，t2=32．
答：两个不同自然数为98和32．