Question

如图，△ABC中，AC=BC=5，∠ACB=80°，O为△ABC中一点，∠OAB=10°，∠OBA=30°，则线段AO的长是    ．

Answer

连接CO，做∠CAO的平分线AD，交BO的延长线于点D，则∠CAB=∠CBA=50°，∠CAD=∠OAD=20°，∠DAB=30°=∠DBA，
所以AD=BD，∠ADB=120°，可证△ACD≌△BCD，∠CDA=∠CDB=120°，又可证△ACD≌△AOD，则AO=AC=5．
【解析】
作∠CAO的平分线AD，交BO的延长线于点D，连接CD，
∵AC=BC=5，
∴∠CAB=∠CBA=50°，
∵∠OAB=10°，
∴∠CAD=∠OAD===20°，
∵∠DAB=∠OAD+∠OAB=20°+10°=30°，
∴∠DAB=30°=∠DBA，
∴AD=BD，∠ADB=120°，
在△ACD与△BCD中
⇒△ACD≌△BCD⇒∠CDA=∠CDB，
∴∠CDA=∠CDB===120°，
在△ACD与△AOD中
⇒△ACD≌△AOD⇒AO=AC，
∴AO=5．
故答案为5．