Question

已知x和y是正整数，并且满足条件xy+x+y=71，x²y+xy²=880，求x²+y²的值．

Answer

将xy+x+y=71，x2y+xy2=880稍作变化，变为xy+（x+y）=71，xy（x+y）=880．此时x+y、xy可以看做一元二次方程t2-71t+880=0的两个解．解出该方程的解即为x+y，xy的值．再将x+y，xy代入x2+y2=（x+y）2-2xy求值即可．
【解析】
∵xy+x+y=71，x2y+xy2=880，
∴xy（x+y）=880，xy+（x+y）=71，
∴x+y、xy可以看做一元二次方程t2-71t+880=0的两个解，
解得t=55或16，
∴x+y=55、xy=16（此时不能满足x、y是正整数，舍去）或x+y=16、xy=55，
当x+y=16、xy=55时，x2+y2=（x+y）2-2xy=162-2×55=146．
故x2+y2的值为146．