Question

如图，已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=11，BC=13，AB=12．动点P、Q分别在边AD和BC上，且BQ=2DP．线段PQ与BD相交于点E，过点E作EF∥BC，交CD于点F，射线PF交BC的延长线于点G，设DP=x．
（1）求的值．
（2）当点P运动时，试探究四边形EFGQ的面积是否会发生变化？如果发生变化，请用x的代数式表示四边形EFGQ的面积S；如果不发生变化，请求出这个四边形的面积S．
（3）当△PQG是以线段PQ为腰的等腰三角形时，求x的值．

Answer

（1）由平行线分线段成比例即可求解其比值；
（2）点P在AD上运动时，由平行线分线段成比例的性质可得EF与QG的比例始终是1：3，且BQ=CG，所以其面积为定值，进而求出其面积即可；
（3）以线段PQ为腰，则可能是PQ=PG，也可能是PQ=QG，所以分开求解即可．
【解析】
（1）在梯形ABCD中，
∵AD∥BC，∴．
∵EF∥BC，∴．
又∵BQ=2DP，∴．

（2）不发生变化．
作EM⊥BC，垂足为点M，
在△BCD中，
∵EF∥BC，∴．
而BC=13，∴．
又∵PD∥CG，∴．
∴CG=2PD．
∴CG=BQ，即QG=BC=13．
作DN⊥BC，垂足为点N．
∴===，
而AB=12，
∴可求得EM=8．
∴．

（3）作PH⊥BC，垂足为点H．
（i）当PQ=PG时，．
∴．
解得．
（ii）当PQ=GQ时，．
解得x=2或．
综上所述，当△PQG是以PQ为腰的等腰三角形时，x的值为、2或．