Question

如图所示，AB是⊙O直径，OD⊥弦BC于点F，且交⊙O于点E，且∠AEC=∠ODB．
（1）判断直线BD和⊙O的位置关系，并给出证明；
（2）当AB=10，BC=8时，求△DFB的面积．

Answer

（1）直线BD和⊙O的位置关系是相切，理由是由∠AEC=∠ABC，∠AEC=∠ODB，得到∠ABC=∠ODB，求出∠BOD+∠D=90°，推出∠OBD=90°，即可得到
（2）根据垂径定理得出BF=CF=BC=4，连接AC，由AB是圆的直径得到∠ACB=∠DFB=90°，证出△ACB∽△BED，根据相似三角形的性质得到===，求出△ABC的面积，即可求出△DFB的面积．
（1）答：直线BD和⊙O的位置关系是相切，
证明：∵∠AEC=∠ABC，∠AEC=∠ODB，
∴∠ABC=∠ODB，
∵OD⊥弦BC，
∴∠OFB=90°，
∴∠DOB+∠ABC=90°，
∴∠BOD+∠D=90°，
∴∠OBD=180°-90°=90°，
∵OB是半径，
∴直线BD是圆O的切线，
即直线BD和⊙O的位置关系是相切；

（2）【解析】
∵OD⊥BC，OE是圆O的半径，BC=8，
∴BF=CF=BC=4，
∠DFB=90°，
连接AC，
∵AB是圆的直径，
∴∠ACB=∠DFB=90°，
∵∠D=∠ABC，
∴△ACB∽△BFD，
∴===，
∵△ABC的面积是×6×8=24，
∴△DFB的面积是，
答：△DFB的面积是．