Question

已知抛物线y=x²+（1-2a）x+a²（a≠0）与x轴交于两点A（x₁，0）、B（x₂，0）（x₁≠x₂）．
（1）求a的取值范围，并证明A、B两点都在原点O的左侧；
（2）若抛物线与y轴交于点C，且OA+OB=OC-2，求a的值．

Answer

（1）首先令抛物线的值y=0，可得出一个关于x的方程，那么x1•x2=a2＞0，因此x1、x2同号，然后可根据抛物线与x轴有两个坐标不同的交点即方程的△＞0以及x1+x2的值来得出点A、B均在原点O左侧．
（2）可先根据一元二次方程根与系数的关系用a表示出OA、OB的长，然后用a表示出OC的长，然后根据题中给出的等量关系：OA+OB=OC-2求出a的值．
【解析】
（1）∵抛物线与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1≠x2，
∴△=（1-2a）2-4a2＞0．a＜．
又∵a≠0，
∴x1•x2=a2＞0，
即x1、x2必同号．
而x1+x2=-（1-2a）=2a-1＜-1=-＜0，
∴x1、x2必同为负数，
∴点A（x1，0），B（x2，0）都在原点的左侧．

（2）∵x1、x2同为负数，
∴由OA+OB=OC-2，
得-x1-x2=a2-2
∴1-2a=a2-2，
∴a2+2a-3=0．
∴a1=1，a2=-3，
∵a＜，且a≠0，
∴a的值为-3．