Question

如图1，点C位线段BG上一点，分别以BC、CG为边向外作正方形BCDA和正方形CGEF，使点D落在线段FC上，连接AE，点M位AE中点
（1）求证：MD=MF，MD⊥MF
（2）如图2，将正方形CGEF绕点C顺时针旋转45°，其他条件不变，探究：线段MD、MF的关系，并加以证明；
（3）如图3，将正方形AGEF绕点C旋转任意角度后，其他条件不同，探究：线段MD、MF的关系，并加以证明．

Answer

（1）如图1，延长DM交FE于N，根据AM=ME，AD∥EF证明△AMD≌△EMN，得出NE=AD=DC，DM=MN，又FE=FC，可得FD=FN，则△DFN为等腰直角三角形，FM为斜边DN上的中线，可证MD=MF，MD⊥MF；
（2）MD=MF，MD⊥MF．如图2，延长DM交CE于N，连接FD、FN，同（1）方法证明△ADM≌△ENM，得DM=MN，利用“SAS”证明，△FDC≌△FNE，得FD=FN，∠5=∠6，可证∠DFN=90°，△DFN为等腰直角三角形，FM为斜边DN上的中线，可证MD=MF，MD⊥MF；
（3）FM⊥MD，MF=MD．如图3，过点E作AD的平行线分别交DM、DC的延长线于N、H，连接DF、FN，利用（1）的方法证明，△AMD≌△EMN，以下证明方法同（2）．
证明：（1）如图1，延长DM交FE于N，
∵正方形ABCD、CGEF，
∴CF=EF，AD=DC，∠CFE=90°，AD∥FE，
∴∠1=∠2，
又∵MA=ME，∠3=∠4，
∴△AMD≌△EMN，
∴MD=MN，AD=EN．
∵AD=DC，
∴DC=NE．
又∵FC=FE，
∴FD=FN．
又∵∠DFN=90°，
∴FM⊥MD，MF=MD；

（2）MD=MF，MD⊥MF．
如图2，延长DM交CE于N，连接FD、FN．
∵正方形ABCD，
∴AD∥BE，AD=DC，
∴∠1=∠2．
又∵AM=EM，∠3=∠4，
∴△ADM≌△ENM，
∴AD=EN，MD=MN．
∵AD=DC，
∴DC=NE．
又∵正方形CGEF，
∴∠FCE=∠NEF=45°，FC=FE，∠CFE=90°．
又∵正方形ABCD，
∴∠BCD=90°，
∴∠DCF=∠NEF=45°，
∴△FDC≌△FNE，
∴FD=FN，∠5=∠6，∠DFN=∠5+∠CFN=∠6+∠CFN=90°，
∴△DFN为等腰直角三角形，且FM为斜边DN上的中线，
∴MD=MF，MD⊥MF；

（3）FM⊥MD，MF=MD．
如图3，过点E作AD的平行线分别交DM、DC的延长线于N、H，连接DF、FN．
∴∠ADC=∠H，AD∥EH，
∴∠3=∠4．
∵AM=ME，∠1=∠2，
∴△AMD≌△EMN，
∴DM=NM，AD=EN．
∵正方形ABCD、CGEF，
∴AD=DC，FC=FE，∠ADC=∠FCG=∠CFE=90°．
∴∠H=90°，∠5=∠NEF，DC=NE．
∴∠DCF+∠7=∠5+∠7=90°，
∴∠DCF=∠5=∠NEF．
∵FC=FE，
∴△DCF≌△NEF．
∴FD=FN，∠DFC=∠NFE．
∵∠CFE=90°，
∴∠DFN=90°．
∴FM⊥MD，MF=MD．