Question

已知：如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，O为BD的中点，EF⊥BD于点O，与AD，BC分别交于点E，F．
求证：
（1）△BOF≌△DOE．
（2）DE=DF．

Answer

（1）根据平行四边形的性质得到AD∥BC，推出∠ADB=∠DBC，根据三角形全等的判定即可推出结论；
（2）先证四边形BEDF是平行四边形，根据EF⊥BD，得出菱形BEDF，根据菱形的性质即可得出答案．
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵∠DOE=∠BOF，OB=OD，
∴△BOF≌△DOE．

（2）证明：连接BE，
∵由（1）得，△BOF≌△DOE，
∴DE=BF，
∵DE‖BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵EF⊥BD
∴平行四边形BEDF为菱形，
∴DE=DF．