Question

如图，已知P是正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3，以点B为旋转中心，将△ABP沿顺时针方向旋转，使点A与点C重合，这时P点旋转到G点．
（1）请画出旋转后的图形，并说明此时△ABP以点B为旋转中心旋转了多少度？
（2）求出PG的长度；
（3）请你猜想△PGC的形状，并说明理由．

Answer

（1）因为∠ABC=90°，将△ABP沿顺时针方向旋转，使点A与点C重合时，旋转角为∠ABC=90°；
（2）连接PG，证明△BPG为等腰直角三角形，BP=BG=2，由勾股定理可求PG；
（3）由旋转的性质可知CG=AP=1，已知PC=3，由（2）可知PG，利用勾股定理的逆定理，判断△PGC为直角三角形．
【解析】
（1）旋转后的△BCG如图所示，旋转角为∠ABC=90°；

（2）连接PG，由旋转的性质可知BP=BG，∠PBG=∠ABC=90°，
∴△BPG为等腰直角三角形，
又BP=BG=2，
∴PG==2；

（3）由旋转的性质可知CG=AP=1，已知PC=3，
由（2）可知PG=2，
∵PG2+CG2=（2）2+12=9，PC2=9，
∴PG2+CG2=PC2，
∴△PGC为直角三角形．