Question

如图所示，D、E、F是△ABC三边的中点，下列结论：①四边形AEDF，BDEF，CDFE都是平行四边形；②△ABC∽△DEF；③S_△ABC=2S_△DEF；④△DEF的周长是△ABC周长的一半，其中正确的序号是（ ）

A．①②④
B．①②③
C．②③④
D．①②③④

Answer

根据EF∥BC，DE∥AB即可求得四边形AEDF，BDEF，CDFE都是平行四边形，可求得△DEF∽△ABC，根据中位线定理和中点的定义即可求得④成立，即可解题．
【解析】
∵D、E、F是△ABC三边的中点，∴DE=AB，DF=AC，EF=BC，DE∥AB，DF∥AC，EF∥BC．
①∵DE∥AB，DF∥AC，EF∥BC，∴四边形AEDF，BDEF，CDFE都是平行四边形；
②∵四边形BDEF，CDFE都是平行四边形，∴∠B=∠DEF，∠C=∠DFE，∴△DEF∽△ABC；
③∵AB=2AF，AC=2AE，∴△ABC的面积=AB•AC•sinA，△AEF的面积=AF•AE•sinA，∴△ABC的面积是△AEF的面积的4倍；
④AC=2AE，AB=2AF，BC=2EF，∴△DEF的周长是△ABC周长的一半，
故①②④正确，
故选 A．