Question

请阅读如下材料．如图，已知正方形ABCD的对角线ACBD于点O，E是AC上一点，AG⊥BE，垂足为G．求证：OE=OF．

（1）根据你的理解，上述证明思路的核心是利用______使问题得以解决，而证明过程中的关键是证出______．
（2）若上述命题改为：点E在AC的延长线上，AG⊥BE交EB的延长线于点G，延长AG交DB的延长线于点F，如图，其他条件不变．求证：OF=OE．

Answer

根据正方形对角线互相垂直平分的性质可以证明OA=OB，（1）求证∠1=∠2，进而证明Rt△BOE≌Rt△AOF，即可得OE=OF．（2）求证∠E=∠F，进而证明Rt△AOF≌Rt△BOE，根据全等三角形对应边相等的性质即可得OE=OF．
证明：∵四边形ABCD是正方形．
∴∠BOE=∠AOF=90°，且OA=OB．
又∵AG⊥BE，
∴∠1+∠3=90°=∠2+∠3，
即∠1=∠2，
∴Rt△BOE≌Rt△AOF（AAS），
∴OE=OF．
（1）三角形全等，∠1=∠2

（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AOF=∠BOE=90°，且OA=OB，
又∵∠F+∠FAO=90°，∠E+∠FAO=90°，
即∠E=∠F
∴Rt△AOF≌Rt△BOE，
∴OE=OF．