Question

如图，在△ABC中，BC=7cm，AC=24cm，AB=25cm，P点在BC上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为2cm/s；Q点在AC上从C点运动到A点（不包括A点），速度为5cm/s．若点P、Q分别从B、C同时运动，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程：
（1）经过多少时间后，P、Q两点的距离为5cm²？
（2）经过多少时间后，S_△PCQ的面积为15cm²？
（3）请用配方法说明，何时△PCQ的面积最大，最大面积是多少？

Answer

（1）根据勾股定理PC2+CQ2=PQ2，便可求出经过1s后，P、Q两点的距离为5cm2
（2）根据三角形的面积公式S△PCQ=×PC×CQ便可求出经过2或1.5s后，S△PCQ的面积为15cm2
（3）根据三角形的面积公式S△PCQ=×PC×CQ以及二次函数最值便可求出t=1.75s时△PCQ的面积最大．
【解析】
（1）设经过ts后，P、Q两点的距离为5cm，
ts后，PC=7-2t cm，CQ=5t cm，
根据勾股定理可知PC2+CQ2=PQ2，
代入数据；
解得t=1或t=-（不合题意舍去）；

（2）设经过ts后，S△PCQ的面积为15cm2
ts后，PC=7-2t cm，CQ=5t cm，
S△PCQ==×（7-2t）×5t=15
解得t1=2，t2=1.5，
经过2或1.5s后，S△PCQ的面积为15cm2

（3）设经过ts后，△PCQ的面积最大，
ts后，PC=7-2t cm，CQ=5t cm，
S△PCQ=×PC×CQ=×（7-2t）×5t=×（-2t2+7t）
当t=-时，即t==1.75s时，△PCQ的面积最大，
即S△PCQ=×PC×CQ=×（7-2×1.75）×5×1.752=
当时间为1.75秒时，最大面积为．