Question

已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=90°，E是AD的中点，点P是BC边上的动点（不与点B重合），EP与BD相交于点O．
（1）当P点在BC边上运动时，求证：△BOP∽△DOE；
（2）设（1）中的相似比为k，若AD：BC=2：3，请探究：
①当四边形ABPE是平行四边形时，k=______；
②当四边形ABPE是直角梯形时，k=______；
③当四边形ABPE是等腰梯形时，k=______；给出③的求解过程．

Answer

（1）△BOP和△DOE中，已知的条件有：对顶角∠EOD=∠POB；根据AD∥BC，可得出内错角∠OED=∠OPB，由此可判定两个三角形相似；
（2）由于E是AD中点，且AD：BC=2：3，得BC=3DE=3AE；
①当k=1时，△ODE和△OBP全等，则DE=BP=AE，又由AE∥BP，则四边形AEPB的对边平行且相等，由此得出四边形AEPB是平行四边形；
②当k=2时，BP=2DE，此时PC=BC-BP=DE，易证得四边形DEPC是矩形，则四边形AEPB是直角梯形；
③当k=3时，BP=3DE，此时P、C重合，可过A、E分别作BC的垂线，设垂足为M、N；根据①②的解题过程易知BM=MN=CN=DE，可证△AMB≌△ENC，得出AB=EC（即EP），由此可证得四边形ABPE是等腰梯形．
（1）证明：∵AD∥BC，∴∠OBP=∠ODE
在△BOP和△DOE中
∠OBP=∠ODE
∠BOP=∠DOE，
∴△BOP∽△DOE；（有两个角对应相等的两三角形相似）；

（2）【解析】
①k=1；②k=2；③k=3；

证明：当k=3时，BP=3DE，此时P、C重合，可过A、E分别作BC的垂线，设垂足为M、N，
已知BM=MN=CN=DE，又AM=EN，∠AMB=∠ENC=90°，
∴△AMB≌△ENC（SAS），
∴AB=EC（EP），
又AD∥BC，AB与DC不平行
∴AE∥BP，AB与EP不平行，
∴四边形ABPE是等腰梯形．