Question

（1）填空：如图1，在正△ABC中，M、N分别在BC、AC上，且BM=CN，连AM、BN交于点O，则∠AON=______°
（2）填空：如图2，在正方形PQRS中，已知点M、N分别在边QR、RS上，且QM=RN，连接PN、SM相交于点O，则∠POM=______°．
（3）如图3，在等腰梯形ABCD中，已知AB∥CD，BC=CD，∠ABC=60°．以此为部分条件，构造一个与上述命题类似的正确命题并加以证明．
（4）在（1）的条件下，把直线AM平移到图4的直线EOF位置，
①写出所有与△BOF相似的三角形：______
②若点N是AC中点，（其它条件不变）试探索线段EO与FO的数量关系，并说明理由．

Answer

（1）易证△ABM≌△BCN，可得∴∠AON=∠BAM+∠ABN=∠CBN+∠ABN=60°；
（2）易证△PSN≌△SRM，可得∠POM=∠MSR+∠SNP=∠MSR+∠SMR=90°；
（3）命题：在等腰梯形ABCD中，已知AB∥CD，BC=CD，∠ABC=60°M、N分别在CD、CB上，且DM=CN，连AM、DN交于点O，则∠AON=120°．
（4）由勾股定理得BF=OF，由△BOF∽△EBF得BF2=OF•EF，即可求证EO=2FO．
【解析】
（1）在△ABM和△BCN中，
，
∴△ABM≌△BCN，
∴∠BAM=∠CBN，
∴∠AON=∠BAM+∠ABN=∠CBN+∠ABN=60°；

（2）∵QM=RN，∴RM=SN，
∵PS=SR，∠PSR=∠SRM=90°
∴△PSN≌△SRM，∴∠PNS=∠SMR，
∴∠POM=∠MSR+∠SNP=∠MSR+∠SMR=90°；

（3）命题：在等腰梯形ABCD中，已知AB∥CD，BC=CD，
∠ABC=60°M、N分别在CD、CB上，且DM=CN，连AM、DN交于点O，则∠AON=120°．
通过证△MDA≌△NCD得∴∠MAD=∠NDC，
∴∠AON=∠MAD+∠ADO=∠NDC+∠ADO=∠ADC=120°；

（4）①△BCD、△EBF，
②EO=2FO，
∵BN平分∠ABC，
∴∠NBF=30°，
∵∠BOF=60°，
∴∠BFO=90°，
由勾股定理得BF=OF，
由△BOF∽△EBF得BF2=OF•EF，
∴（OF）2=OF•EF，
∴3OF=EF，
∴EO=2FO．