Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，AC+BC=8，∠ACB的平分线交AB于点O，以O为圆心的⊙O与AC相切于点D．
（1）求证：⊙0与BC相切；
（2）当AC=2时，求⊙O的半径．

Answer

（1）要证⊙0与BC相切，只要证明点O到BC的距离等于圆的半径即可，作出点O到BC的距离，利用角平分线的性质可以进行证明；
（2）由AC=2，AC+BC=8可求出BC，观察图形发现S△ABC=S△AOC+S△BOC，可利用面积法求得圆的半径．
【解析】
（1）过点O作OF⊥BC，垂直为F，连接OD，
∵AC是圆的切线，
∴OD⊥AC，
又OC为∠ACB的平分线，
∴OF=OD，
∴BC与⊙0相切；

（2）由（1）知BC与⊙0相切，
∵D、F为切点，
∴OD⊥AC，OF⊥BC，OD=OF，
S△ABC=S△AOC+S△BOC
=AC•BC=AC•OD+BC•OF
∵AC+BC=8，AC=2，
∴BC=6，
∴×2×6=×2×OD+×6×OF，
而OD=OF．
∴OD=，
即⊙O的半径为．