Question

已知：如图，AD是△ABC外接圆⊙O的直径，AE是△ABC的边BC上的高，DF⊥BC，F为垂足．
（1）求证：BF=EC；
（2）若C点是弧AD的中点，且DF=3，AE=3，求BC的长．

Answer

（1）过0作OH⊥BC于H，根据垂径定理求出BH=CH，则AE∥OH∥DF，推出EH=FH，求出BE=CF，等式两边都加上BC即可．
（2）连AC、DC、OC，则△ACD是等腰直角三角形，从而得出△AEC≌△DFC，则求出OC⊥EF，推出EF是圆的切线，求出B、C重合．
【解析】
（1）证明：过0作OH⊥BC于H，
∵OH过O，
∴由垂径定理得：BH=CH，
∵AE⊥BC，DF⊥BC，OH⊥BC，
∴AE∥OH∥DF，
又∵OA=OD，
∴EH=FH，
∵BH=CH，
∴EH-BH=FH-CH，
即BE=CF，
∴BE+BC=CF+BC，
∴BF=CE．

（2）
∵C点是弧AD的中点，即弧AC=弧CD，
∴AC=CD，
∵AD是直径，
∴∠ACD=90°，
∴∠ACE+∠DCF=90°，
∵AE⊥EF，
∴∠AEC=90°，
∴∠EAC+∠ACE=90°，
∴∠EAC=∠DCF，
在△EAC和△FCD中
，
∴△EAC≌△FCD，
∴AE=CF=3，CE=DF=3，
∴EC=CF，
∵OA=OC，
∴OC是梯形AEFD的中位线，
∴OC∥AE，
∵AE⊥EF，
∴OC⊥EF，
∵OC为半径，
∴OC是⊙O切线，
∴EF和⊙O只有一个交点，
即B C重合，
∴BC=0．