Question

二次函数y=x²的图象如图所示，点A位于坐标原点，A₁，A₂，A₃，…，A₂₀₁₀在y轴的正半轴上，B₁，B₂，B₃，…，B₂₀₁₀在二次函数第一象限的图象上，若△AB₁A₁，△A₁B₂A₂，△A₂B₃A₃，…，△A₂₀₀₉B₂₀₁₀A₂₀₁₀都为等边三角形，请计算△A₂₀₀₉B₂₀₁₀A₂₀₁₀的边长=    ．

Answer

分别过B1，B2，B3作y轴的垂线，垂足分别为A、B、C，设AA1=a，A1A2=b，A2A3=c，则AB1=a，BB2=b，CB3=c，再根据所求正三角形的边长，分别表示B1，B2，B3的纵坐标，逐步代入抛物线y=x2中，求a、b、c的值，得出规律．
【解析】
分别过B1，B2，B3作y轴的垂线，垂足分别为A、B、C，
设AA1=a，A1A2=b，A2A3=c，则AB1=a，BB2=b，CB3=c，
在正△AB1A1中，B1（a，），
代入y=x2中，得=•（a）2，解得a=1，即AA1=1，
在正△A1B2A2中，B2（b，1+），
代入y=x2中，得1+=•（b）2，解得b=2，即A1A2=2，
在正△A2B3A3中，B3（c，3+），
代入y=x2中，得3+=•（c）2，解得c=3，即A2A3=3，
由此可得△A2009B2010A2010的边长=2010．
故答案为：2010．