Question

如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限只有一个交点A，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于B、C两点，AD垂直平分OB，垂足为D，OA=，sin∠ABO=．
（1）求点A的坐标及反比例函数解析式；
（2）求一次函数的解析式．

Answer

利用垂直平分线的性质求出AD的值，再根据已知条件求出点A的坐标（1，2），再根据点A的坐标求出反比例函数解析式中k的值，即可求出反比例函数的解析式为；根据点A的坐标及垂直平分线的性质求出点B的坐标（2，0），将A（1，2），B（2，0）代入求出a，b的值得到一次函数的解析式为y=-2x+4．
【解析】
（1）∵AD垂直平分OB，
∴OA=AB=．
∵sin∠ABO=，
∴=，
∴AD=2．
∴BD=．
∵OD=BD，
∴OD=1．
∴A（1，2）．
设反比例函数的解析式为，
将A（1，2）代入：k=1×2=2．
∴反比例函数的解析式为．

（2）∵A（1，2），OD=DB=1，∴OB=2，
∴B（2，0）．
设一次函数的解析式为y=ax+b（a≠0），
∴，
解得，
∴一次函数的解析式为y=-2x+4．