Question

如图，在等边△ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边△ADE．
（1）求∠CAE的度数；
（2）取AB边的中点F，连接CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形．

Answer

（1）根据等边三角形三线合一的特点，易求得∠DAC=30°，则∠CAE=∠DAE-∠DAC．
（2）先证明四边形AECF是平行四边形，然后根据∠CFA=∠FAE=90°，由矩形的定义判定四边形AFCE是矩形．
（1）【解析】
∵△ABC是等边三角形，且D是BC中点，
∴DA平分∠BAC，即∠DAB=∠DAC=30°；
∵△DAE是等边三角形，
∴∠DAE=60°；
∴∠CAE=∠DAE-∠CAD=30°；

（2）证明：∵△BAC是等边三角形，F是AB中点，
∴CF⊥AB；
∴∠BFC=90°
由（1）知：∠CAE=30°，∠BAC=60°；
∴∠FAE=90°；
∴AE∥CF；
∵△BAC是等边三角形，且AD、CF分别是BC、AB边的中线，
∴AD=CF；
又AD=AE，∴CF=AE；
∴四边形AFCE是平行四边形；
∵∠AFC=∠FAE=90°，
∴四边形AFCE是矩形．