Question

已知：如图，在⊙O中，点A、B在圆上，BC∥OA，交⊙O于点D，且OC⊥OB，∠OCA=∠B．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若OB=1，求BD的长．

Answer

（1）由BC∥OA得AOC=∠OCB．又因为∠OCA=∠B，所以△ACO∽△OBC．∠CAO=∠BOC．由OC⊥OB，得∠BOC=90°．得到∠CAO=90°又由OA是半径，从而求得．
（2）过点O作OE⊥BC于点E．可得，四边形ACEO是矩形，DE=BE．所以CE=OA=OB=1．设BE=x，则BC=CE+BE=1+x．由∠BOC=∠BEO=90°，∠B=∠B，得△BOC∽△BEO．得到求得x，而得到．
（1）证明：∵BC∥OA，
∴∠AOC=∠OCB．（1分）
又∵∠OCA=∠B，
∴△ACO∽△OBC．
∴∠CAO=∠BOC．
∵OC⊥OB，
∴∠BOC=90°．
∴∠CAO=90°．（2分）
又∵OA是半径，
∴AC是⊙O的切线．（3分）

（2）【解析】
过点O作OE⊥BC于点E．
可得，四边形ACEO是矩形，DE=BE．
∴CE=OA=OB=1．（4分）
设BE=x，则BC=CE+BE=1+x
∵∠BOC=∠BEO=90°，∠B=∠B，
∴△BOC∽△BEO．
∴．
即．
∴x2+x-1=0．
解得（舍负）．
∴．（5分）
∴．（6分）