Question

如图，AB为⊙O直径，C为圆上任一点，作弦CD⊥AB，垂足为H．连接OC．
（1）说明∠ACO=∠BCD成立的理由；
（2）作∠OCD的平分线CE交⊙O于E，连接OE（点D、E可以重合），求出点E在弧ADB的具体位置，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，连接AE，判断圆上是否存在点C，使△ACE为等腰三角形？若存在，请你写出∠CAE的度数．（不用写出推理过程）

Answer

（1）由垂径定理可知弧BD=弧BC，可得∠BCD=∠A，由半径相等，得∠A=∠ACO，推出结论；
（2）E为弧ADB的中点． 由∠ACO=∠BCD及∠OCE=∠DCE，可得∠ACE=∠BCE，得=，可证E为弧ADB的中点；
（3）存在．当AC=CE时，∠AOE=90°，则∠ACE=45°，∠CAE=（180°-∠ACE），当AC=AE时，∠CAE=90°，当CE=AE时，∠CAE=45°．
【解析】
（1）∵CD⊥直径AB，
∴弧BD=弧BC（垂径定理），
∴∠BCD=∠A，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∴∠ACO=∠BCD；

（2）E为弧ADB的中点．
理由：∵CE平分∠OCD，
∴∠OCE=∠DCE，
∵OE=OC，
∴∠OEC=∠OCE，
∴∠OEC=∠DCE，
∴OE∥CD，
又∵CD⊥AB∴OE⊥AB，
∴E为弧ADB的中点；

（3）当C在优弧ACE上，AC=CE时，∠CAE=67.5°，
当AC=AE时，∠CAE=90°，
当CE=AE时，∠CAE=45°，
当C在劣弧AE上，AC=CE时，∠CAE=22.5°．