Question

如图，直角坐标系中，点A的坐标为（a，0），以线段OA为边在第四象限内作等边△AOB，点C为x正半轴上一动点（OC＞a＞0），连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边△CBD，直线DA交y轴于点E．
（1）求证：OC=AD．
（2）随着点C位置的变化，点E的位置是否会发生变化？若没有变化，求出点E的坐标；若有变化，请说明理由．
（3）当C点运动到使OA：AC=1：3时，求出此时D点的坐标．

Answer

（1）根据题意可知，BD=BC、∠OBA=∠CBD=60°、BA=OB，便可推出△BOC≌△BAD，即可得结论；
（2）不会发生变化，根据（1）容易得到∠OAE=60°，从而得到E的坐标是固定，为（0，）；
（3）作DM⊥y轴，根据（1）（2）的结论可以推出ED=6a，MD=3a，OM=2a，即可推出D点的坐标．
（1）证明：∵△AOB和△CBD是等边三角形，
∴OB=AB，∠OBA=∠OAB=60°，
∵BC=BD，∠CBD=60°，
∴∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC，
即∠OBC=∠ABD，
在△OBC和△ABD中，
 OB=AB，∠OBC=∠ABD，BC=BD，
∴△OBC≌△ABD，
∴OC=AD．

（2）【解析】
E点的位置不会发生变化，
∵△OBC≌△ABD，
∵∠BAD=∠BOC=60°，
又∵∠OAB=60°，
∴∠OAE=180°-∠OAB-∠BAD=60°，
∴Rt△OEA中，AE=2OA=2a，
∴OE=a，
∴点E的位置不会发生变化，E的坐标为E（0，a）；

（3）【解析】
作DM⊥y轴，
∵∠MED=30°，OA=a，OA：AC=1：3，AE=2a，AD=OC，
∴ED=6a，
∴MD=3a，
∴EM=3a，
∴OM=2a，
∴D点的坐标为（3a，-2a）．