Question

如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为直角梯形，点A、B、C的坐标分别为（2，6），（8，6），（8，0）．动点F、D分别从O、B同时出发，以每秒1个单位的速度运动．其中，点F沿OC向终点C运动，点D沿BA向终点A运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点D作DE⊥AB，交OB于E，连接EF．已知动点运动了x秒．
（1）x的取值范围为多少？
（2）E点的坐标为______；（用含x的代数式表示）
（3）试求△OFE面积的最大值，并求此时x的值．
（4）请你探索：△OFE能否成为以OF为底边的等腰三角形？如能请求出x的值．

Answer

（1）根据题意易知AB＜CD，且知AB=6，故可求x的取值范围；
（2）过E作EG⊥BC于G，由于AB∥OC，可知∠OBE=∠COB，而∠EDB=∠BCO=90°，可证△BDE∽△OCB，再利用比例线段可求DE，而知四边形DEGB是矩形，那么易求点E的坐标；
（3）通过观察可知，在△OEF中，OF=x，OF边上的高EH=CG=x，利用三角形面积公式有S△OFE=-，再结合二次函数的性质，可求S的最大值，以及x的值；
（4）延长DE交x轴于H，则有EH⊥OC，当HF=HO且EH⊥OC（点F在点H的右边），则△OFE就可以OF为底边的等腰三角形，而OH=8-x，HF=OF-OH=x-（8-x）=2x-8，于是8-x=2x-8，解得x=，并且x＜6，成立．
【解析】
（1）∵AB=8-2=6，
∴0≤x≤6；

（2）过E作EG⊥BC于G，
∵AB∥OC，
∴∠OBE=∠COB，
∵∠EDB=∠BCO=90°，
∴△BDE∽△OCB，
∴DB：DE=OC：BC，
∴x：DE=8：6，
∴DE=x，
又∵四边形DEGB是矩形，
∴EG=x，BG=x，
∴E点坐标是：（8-x，6-x）；

（3）设△OEF的面积为S，在△OEF中，OF=x，OF边上的高EH=CG=6-x，
其中，0≤x≤6，
∴S=x•（6-x）==-，
∴S的最大值为6，此时x=4；

（4）延长DE交x轴于H，则有EH⊥OC，
若HF=HO且EH⊥OC（点F在点H的右边），则△OFE就可以OF为底边的等腰三角形，
∵OH=8-x，HF=OF-OH=x-（8-x）=2x-8，
∴8-x=2x-8，
∴x=（＜6成立）．