Question

如图，在边长为2的等边△ABC中，AD⊥BC，点P为边AB上一个动点，过P点作PF∥AC交线段BD于点F，作PG⊥AB交AD于点E，交线段CD于点G，设BP=x．
（1）试判断BG与2BP的大小关系，并说明理由；
（2）用x的代数式表示线段DG的长，并写出自变量x的取值范围．

Answer

（1）PG⊥AB，则在直角△BGP中，根据∠BGP=30°，可得BG=2BP；
（2）BG=2BP，BD=BC=1，则DG=2x-1，根据点G在线段CD上，所以求G与D、C重合时x的值即可确定自变量x的取值范围，即可解题．
【解析】
（1）∵PG⊥AB
∴△BPG为直角三角形，
∵∠BGP=90°-∠B=30°，
∴BG•sin∠BGP=BP，
即BG=2BP；

（2）∵BG=2BP，BD=BC=1，
∴DG=2x-1，
∵点G在线段CD上，
∴求G与D、C重合时x的值即可确定自变量x的取值范围，
当G与D点重合时，BG=BC=1，∴2x-1=0，即x=，
当G与C点重合时，DG=1，∴2x-1=1，即x=1，
故x的取值范围为＜x＜1．