Question

如图，正方形ABCD的长为1，点E是AD边上的动点且从点A沿AD向D运动，以BE为边，在BE的上方作正方形BEFG，为DC与EF的交点，请探索：
（1）连接CG，线段AE与CG是否相等？请说明理由．
（2）设AE=x，CG=y，请确定y与x的函数关系式并说明自变量的取值范围．
（3）连接BH，当点E运动到边AD上的某一点时将有△BEH∽△BAE，请你指出这一点的位置，并说明理由．

Answer

由SAS定理可判断△BEA≌△BGC，∴AE=CG，可得（1）（2）问的结论；由△BCG∽△EDH和△BEA≌△BGC所得结论进行等量代换，最后三角形相似的判定定理进行证明．
【解析】
（1）∵BG=EB，BC=AB，∠CBA=∠EBG，
∴∠EBA=∠GBC（同角的余角相等），
∴△BEA≌△BGC，
∴AE=CG；

（2）由（1）知AE=CG，
∴y=x（0≤x≤1）；

（3）易证得△BCG∽△EDH，
又∵△BEA≌△BGC，
∴△BAE∽△EDH，
∴△BCG∽△EDH，
∴EH：EB=DE：AB，
∴当E为DA中点时，EH：EB=EA：AB且∠HEB=∠A，
即当E为DA中点时△BEH∽△BAE．