Question

如图，在△ABC中，AC=AB=2，∠A=90°，将一块与△ABC全等的三角板的直角顶点放在点C上，一直角边与BC重叠．
（1）操作1：固定△ABC，将三角板沿C→B方向平移，使其直角顶点落在BC的中点M，如图2所示，探究：三角板沿C→B方向平移的距离为______

Answer

（1）M是BC的中点，三角板沿C→B方向平移的距离为CM，根据勾股定理可求BC，那么CM可求；
（2）连AM，分别证明△MAQ≌△MBP和△MAP≌△MCQ，那么四边形MPAQ的面积S就是△ABC面积的一半；
（3）用四边形MPAQ的面积减去△APQ可得△MPQ的面积，而AQ=PB=x，AP=2-x，据此列出y关于x的函数关系式，将函数值代入函数关系式可得自变量，根据自变量可以判断四边形MPAQ的形状．
【解析】
（1）BC==2
∴CM=BC=
故三角板沿C→B方向平移的距离为：．

（2）四边形MPAQ的面积S不变，如图，连AM，M是等腰直角三角形ABC斜边BC的中点，

∴AM=BM，而∠QMA=∠PMB=a，∠QAM=∠PBM=45°
∴△MAQ≌△MBP，
同理可得：△MAP≌△MCQ，
∴S四边形MPAQ=S△MAQ+S△MAP=S△ABC=××2×2=1

（3）y=1-x（2-x）=x2-x+1
如果y的值是四边形MPAQ的面积的一半，
则有，x2-x+1=1× 解得，x=1．
四边形MPAQ为正方形．