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△ABC中,∠A=∠B=30°,AB=2,把△ABC放在平面直角坐标系中,使AB...

△ABC中,∠A=∠B=30°,AB=2manfen5.com 满分网,把△ABC放在平面直角坐标系中,使AB的中点位于坐标原点O(如图),△ABC可以绕点O作任意角度的旋转.
(1)当点B在第一象限,纵坐标是manfen5.com 满分网时,求点B的横坐标;
(2)如果抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴经过点C,请你探究:
①当a=manfen5.com 满分网,b=-manfen5.com 满分网,c=-manfen5.com 满分网时,A,B两点是否都在这条抛物线上?并说明理由;
②设b=-2am,是否存在这样的m的值,使A,B两点不可能同时在这条抛物线上?若存在,直接写出m的值;若不存在,请说明理由.

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(1)由于O是AB的中点,则OA=OB=;可设出点B的横坐标,结合B点的纵坐标和勾股定理即可求出B点的横坐标; (2)①已知了抛物线的解析式,即可得到抛物线的对称轴方程,也就得到了C点的横坐标;此时发现C点横坐标为正数,所以分两种情况讨论: 一、点C在第一象限;在Rt△OBC中,根据OB的长及∠B的度数,可求出OC的长,参照(1)的方法即可求出C点的坐标;若分别过A、C作x轴的垂线,通过构建的相似三角形即可求出A点的坐标,A、B关于原点对称,即可得到B点的坐标;将A、B的坐标代入抛物线的解析式中进行验证即可; 二、点D在第四象限;方法同一; ②若b=-2am,则函数的解析式为:y=ax2-2amx+c=a(x-m)2-am2+c;由此可得C点的横坐标为m;在△ABC旋转的过程中,C点横坐标的取值范围在区间[-1,1]之间,由于当m=-1或1时,C点在x轴上,A、B同时处在y轴,所以此时抛物线不可能同时经过A、B两点. 【解析】 (1)∵点O是AB的中点, ∴OB=AB=;(1分) 设点B的横坐标是x(x>0), 则x2+()2=()2,(1分) 解得x1=,x2=-(舍去); ∵点B在第一象限, ∴点B的横坐标是;(2分) (2)①当a=,b=-,c=-时,得y=(*) y=;(1分) 以下分两种情况讨论; 情况1:设点C在第一象限(如图), 则点C的横坐标为,OC=OB×tan30°==1;(1分) 由此,可求得点C的坐标为(,), 根据∠A=30°,OC⊥AB, 过C作X轴的垂线交X轴于N,过点A作垂线交X轴于点M, 则△AOM∽△CON ∴OA:OC=OM:CN=AM:ON=:1, ∵NO=, ∴AM=NO×=, ∴MO=CN×=, ∴点A(-,), ∵A,B两点关于原点对称, ∴点B的坐标为(,-), 将点A的横坐标代入解析式的右边,计算得, 即等于点A的纵坐标; 将点B的横坐标代入解析式的右边,计算得-,即等于点B的纵坐标; ∴在这种情况下,A,B两点都在抛物线上; 情况2:设点C在第四象限(如图),则点C的坐标为(,-), 点A的坐标为(,),点B的坐标为(-,-); 经计算,A,B两点都不在这条抛物线上; ②存在,m的值是1或-1. y=a(x-m)2-am2+c, 因为这条抛物线的对称轴经过点C, 所以-1≤m≤1; 当m=±1时,点C在x轴上,此时A,B两点都在y轴上. 因此当m=±1时,A,B两点不可能同时在这条抛物线上.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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