Question

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8．点P，Q都是斜边AB上的动点，点P从B向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP=AQ．点D，E分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点，HQ⊥AB于Q，交AC于点H．当点E到达顶点A时，P，Q同时停止运动．设BP的长为x，△HDE的面积为y．
（1）求证：△DHQ∽△ABC；
（2）求y关于x的函数解析式并求y的最大值；
（3）当x为何值时，△HDE为等腰三角形？

Answer

（1）根据对称性可得HD=HA，那么可得∠HDQ=∠A，加上已有的两个直角相等，那么所求的三角形相似；
（2）分0＜x≤2.5；2.5＜x≤5两种情况讨论，得到y关于x的函数关系式，再利用二次函数的最值即可求得最大值；
（3）等腰三角形有两边相等，根据所在的不同位置再分不同的边相等解答．
（1）证明：∵A、D关于点Q成中心对称，HQ⊥AB，
∴∠HQD=∠C=90°，HD=HA，
∴∠HDQ=∠A，
∴△DHQ∽△ABC．

（2）【解析】
①如图1，当0＜x≤2.5时，
ED=10-4x，QH=AQtanA=x，
此时y=（10-4x）×x=-+x，
当x=时，最大值y=，
②如图2，当2.5＜x≤5时，
ED=4x-10，QH=AQtanA=x，
此时y=（4x-10）×x=-x=（x-）2-．
当2.5＜x≤5时，y有最大值，最大值为y=，
∴y与x之间的函数解析式为y=，
则当2.5＜x≤5时，y有最大值，其最大值是y=．
综上可得，y的最大值为．

（3）【解析】
①如图1，当0＜x≤2.5时，
若DE=DH，∵DH=AH==x，DE=10-4x，
∴10-4x=，x=．
∵∠EDH＞90°，
∴EH＞ED，EH＞DH，
即ED=EH，HD=HE不可能；
②如图2，当2.5＜x≤5时，
若DE=DH，4x-10=，x=；
若HD=HE，此时点D，E分别与点B，A重合，x=5；
若ED=EH，则∠ADH=∠DHE，
又∵点A、D关于点Q对称，
∴∠A=∠ADH，
∴△EDH∽△HDA，
∴=，x=，
∴当x的值为，，5，时，△HDE是等腰三角形．