Question

定理：图1，如果∠ADB=∠ACB，那么四边形ABCD有外接圆，也叫做A，B，C，D四点共圆．（注：本定理不需要证明）
（1）图2，△ABC中，AC=BC，点E，F分别在线段AC，BC上运动（不与端点重合），而且CE=BF，O是△ABC的外心（外接圆的圆心，它到三角形三个顶点距离相等），试证明C，E，O，F四点共圆．（注：可以使用上述定理，也可以采用其他方法）

如果将问题2中的点C“分离”成两个点，那么就有：
（2）图3，在凸四边形ABCD中，AD=BC，点E，F分别在线段AD，BC上运动（不与端点重合），而且DE=BF，直线AC，BD相交于点P，直线EF，BD相交于点Q，直线EF，AC相交于点R．当点E，F分别在线段AD，BC上运动（不与端点重合）时，探究△PQR的外接圆是否经过除点P外的另一个定点？如果是，请给出证明，并指出是哪个定点；如果不是，请说明理由．

Answer

（1）根据外心的性质可知OA=OB=OC，则∠OCB=∠OBC，又AC=BC，由等腰三角形的对称性，得∠OCB=∠OCA，再根据已知条件证明△ECO≌△FBO，可得∠EOC=∠FOB，OE=OF，比较等腰△OEF与等腰△OBC的顶角，可得底角∠OFE=∠OBC=∠OCE，可证C，E，O，F四点共圆；
（2）本题要找出第四个点O，使P、Q、R、O四点共圆，作线段AC，BD垂直平分线的交点O，由垂直平分线的性质得OA=OC，OD=OB，AD=BC，可证△ODA≌△OCB，∠OBF=∠ODE，进一步证明△OBF≌△ODE，可得OE=OF且∠BOF=∠DOE，从而有∠BOD=∠EOF，得到△EOF∽△BOD∽△COA，利用相似得角的等量关系，证明四点共圆．
证明：（1）∵OB=0C，
∴∠OCB=∠OBC，
又∵AC=BC，
∴∠OCB=∠OCA，
∴∠OBC=∠OCA，
在△ECO与△FBO中，，
∴△ECO≌△FBO，
∴∠EOC=∠FOB，又∠AOC=∠BOC，
∴∠EOF=∠COB，
又∵EO=OF，
∴∠OEF=∠OCF，
∴C，E，O，F四点共圆；

（2）由于是将问题2中的点C“分离”成两个点，
根据图形变换的过程，猜测△PQR的外接圆一定经过线段AC，BD垂直平分线的交点O．
下面给予证明：
显然△ODA≌△OCB，
∴∠OBF=∠ODE，
∴△OBF≌△ODE，
∴OE=OF且∠BOF=∠DOE，
∴∠BOD=∠EOF，
∴△EOF∽△BOD∽△COA，
∴∠OBD=∠OEF=∠OCA，
∴O，B，F，Q四点共圆，O，F，C，R四点也共圆，
∴∠OFB=∠OQB=∠ORP，
∴P，Q，O，R四点共圆，即当点E和F变动时，△PQR的外接圆经过除点P外的另一个定点O．