Question

如图，DE∥BC，FG∥AB，MN∥AC，且DE、FG、MN交于点P．若记S_△ABC=S，S_△PDM=S₁，S_△PEF=S₂，S_△PGN=S₃．请猜想：S与S₁、S₂、S₃之间存在怎样的关系？你能加以验证吗？

Answer

根据DE∥BC，FG∥AB，MN∥AC，求证△PDM∽△CBA，利用四边形DPBG是平行四边形得出PD=BG，=，=，进一步得出++==1，再利用相似三角形面积比是相似比的平方即可得出结论．
【解析】
S与S1、S2、S3之间存在关系：++=．
证明：∵FG∥AB，
∴△PDM∽△CBA，
∴=，
又∵DE∥BC，
∴四边形DPGB是平行四边形，
∴PD=BG，
∴=，
同理：=，
∴++==1
由△PDM∽△CBA得=，
即=，
=，=，
∴即++=1，
∴++=．