Question

如图，在△ABC中，AB=AC，点D为AC中点，点E在BA的延长线上，且EA=AB，ED的延长线交BC于F，连AF．
（1）请写出一对相似三角形并证明；
（2）当AF=4时，求EF的长．

Answer

（1）△ABF∽△DCF，过点A作AG∥BC交EF于G，则根据平行线的性质可以得到，然后利用已知条件 ，接着利用由AB=AC得到∠B=∠C，利用这些条件即可确定△ABF∽△DCF；
（2）利用（1）中结论和相似三角形的性质可以得到（3），接着得到（4），这样可以求出DF=2，又由AG∥BC，点D为AC中点可以得到，从而求出DG=2，GF=4，再由AG∥BC，EA=AB得到，由此即可求解．
（1）△ABF∽△DCF（1分）
证明：过点A作AG∥BC交EF于G，
则，（2分）
∵EA=AB，点D为AC中点，
∴，
∴（1分）
又∵AB=AC，AD=DC，
∴CD=AC=AB，即（1分），
∴，
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴△ABF∽△DCF；

（2）【解析】
∵△ABF∽△DCF，（3），
∴（4），
∴DF=2，
又∵AG∥BC，点D为AC中点，
∴，
∴DG=2，
∴GF=4，
∵AG∥BC，EA=AB，
∴，
∴EF=8．