Question

如图，已知抛物线与x轴有两个交点A，B，点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上，且OA=OB．
（1）求m的值；
（2）求抛物线的表达式，并写出抛物线的对称轴和顶点C的坐标；
（3）问抛物线上是否存在一点M，使△MAC≌△OAC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据抛物线与y轴交于正半轴，且OA=OB，结合图象得出m-3＞0，5-=0，即可得出答案；
（2）利用（1）中m的值得出二次函数解析式，即可得出顶点坐标；
（3）根据A、B两点的坐标分别为A（2，0），B（-2，0），得出△OAC是等腰直角三角形，假设存在一点M，使△MAC≌△OAC，进而得出M点的坐标，进而得出答案．
【解析】
（1）∵抛物线与y轴交于正半轴，且OA=OB
∴，
解得m=5（2分）；

（2）抛物线的表达式为（3分），
对称轴是y轴，顶点C的坐标是（0，2）（5分）；

（3）令y=0，得，
解得：x=±2，
故A、B两点的坐标分别为A（2，0），B（-2，0），
则△OAC是等腰直角三角形．（6分）
假设存在一点M，使△MAC≌△OAC．
∵AC为公共边，OA=OC，
∴点M与点O关于直线AC对称．（8分）
则四边形OAMC是正方形，
∴M点的坐标为（2，2）（9分），
当x=2时，，
∴点M（2，2）不在抛物线上，
即不存在点M，使△MAC≌△OAC．（11分）