Question

如图（1），已知在△ABC中，AB=AC=10，AD为底边BC上的高，且AD=6．将△ACD沿箭头所示的方向平移，得到△A′CD′．如图（2），A′D′交AB于E，A′C分别交AB、AD于G、F．以D′D为直径作⊙O，设BD′的长为x，⊙O的面积为y．
（1）求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）连接EF，求EF与⊙O相切时x的值；
（3）设四边形ED′DF的面积为S，试求S关于x的函数表达式，并求x为何值时，S的值最大，最大值是多少？

Answer

（1）本题的关键是求出DD′的长，已知了AB、AD的长，可在直角三角形BDA中，用勾股定理求出BD的长，根据DD′=BD-BD′即可得出DD′的表达式，有了DD′的长即圆的直径可根据圆的面积公式得出y，x的函数关系式．
（2）EF与圆O′相切，那么D′E=D′D，根据（1）得出的DD′的表达式可表示出D′E的长，然后根据△BD′E与△BDA相似，可得出关于D′E、DA、BD′、BD的比例关系式，以此来确定x的值．
（3）在（1）、（2）中已经得出了D′D和D′E的表达式，即可根据矩形的面积公式求出S，x的函数关系式．
【解析】
（1）∵AB=10，AD=6，∠ADB=90°
∴BD=CD=8
∴DD'=BD-BD'=8-x
∴y=π
∴（8-x）2（0≤x＜8）．

（2）∵△BD'E≌△CDF
∴ED'=DF
∵ED'∥DF，∠FDD'=90°
∴四边形ED'DF是矩形
∴EF∥DD'
若DF与⊙O相切，则ED'=DD'
∵∠ED'B=∠AOB=90°，∠B=∠B
∴△BED'∽△BAD
∴，
即
∴ED'=
∴
解得x=
因此，当x=时，EF与⊙O相切．

（3）S=ED'•D'D=
=-x2+6x
=-（x-4）2+12
∴x=4时，满足0≤x＜8，S的值最大，最大值是12．