Question

已知，如图，P是正方形ABCD内一点，在正方形ABCD外有一个点E，满足∠ABE=∠CBP，BE=BP
（1）求证：△CPB≌△AEB；
（2）求证：PB⊥BE；
（3）若∠APB=135°，判断△PAE形状，并説明你的理由．

Answer

（1）由四边形ABCD是正方形，可得AB=CD，根据全等三角形的判定定理即可证明；
（2）四边形ABCD是正方形，可得∠ABC=90°，即∠CBP+∠ABP=90°，又∠ABE=∠CBP，可得∠ABE+∠ABP=90°即可证明；
（3）求出∠PBE=90°，∵BE=BP，可得∠BPE=∠BEP=（180°-∠PBE）=×90°=45°，所以∠APE=∠APB-∠BPE=135°-45°=90°即可证明．
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD，
又∵∠ABE=∠CBP，BE=BP，
∴△CPB≌△AEB（SAS）；

（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，
即∠CBP+∠ABP=90°．
∵∠ABE=∠CBP，
∴∠ABE+∠ABP=90°，
即∠PBE=90°，
∴PB⊥BE；

（3）【解析】
△PAE是直角三角形．
理由：由（2）知PB⊥BE，
∴∠PBE=90°．
∵BE=BP，
∴∠BPE=∠BEP=（180°-∠PBE）=×90°=45°，
∴∠APE=∠APB-∠BPE=135°-45°=90°，
∴△PAE是直角三角形．