Question

如图所示，已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°．
（1）尺规作图：作∠BAC的平分线AM交BC于点D（只保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作图形中，将Rt△ABC沿某条直线折叠，使点A与点D重合，折痕EF交AC于点E，交AB于点F，连接DE、DF，再展回到原图形，得到四边形AEDF．
①试判断四边形AEDF的形状，并证明；
②若AC=8，CD=4，求四边形AEDF的周长和BD的长．

Answer

（1）按作角的平分线步骤作即可；
（2）由题意和已知可知EF是线段AD的垂直平分线，AD是∠BAC的平分线，再证明△AEG≌△AFG，易得四边相等，所以四边形AEDF是菱形；②在Rt△ECD中，根据勾股定理求得DE的值，则AE=DE，即可求得周长；求BD的长，可证明△BFD∽△BAC，根据比例线段求得．
【解析】
（1）如图，（1分）
写出结论：射线AM就是所要求的角平分线；（2分）

（2）①四边形AEDF是菱形．（3分）
证明：如图，
根据题意，可知EF是线段AD的垂直平分线，
则AE=ED，AF=FD，∠AGE=∠AGF=90°，
由（1）可知，AD是∠BAC的平分线，
∴∠EAD=∠DAF．
∵∠AGE=∠AGF，AG=AG，
∴△AEG≌△AFG．（4分）
∴AE=AF∴AE=ED=DF=AF．
∴四边形AEDF是菱形．（5分）
②设AE=x，则ED=x，CE=8-x，
在Rt△ECD中，42+（8-x）2=x2，
解得x=5，∴4x=20．
即四边形AEDF的周长是20．（7分）
由①可知，四边形AEDF是菱形，
∴FD∥AC，
∴△BFD∽△BAC，
∴，（8分）
∴，
解得．
即BD的长是．（10分）