Question

对于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），下列说法：
①若a+c=0，方程ax²+bx+c=0有两个不等的实数根；
②若方程ax²+bx+c=0有两个不等的实数根，则方程cx²+bx+a=0也一定有两个不等的实数根；
③若c是方程ax²+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；
④若m是方程ax²+bx+c=0的一个根，则一定有b²-4ac=（2am+b）²成立．
其中正确地只有（ ）
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④

Answer

①根据根的判别式即可作出判断；
②方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根，则△=b2-4ac＞0，判断方程cx2+bx+a=0也一定有两个不等的实数根，只要证明方程的判别式的值大于0即可；
③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则代入即可作出判断；
④若m是方程ax2+bx+c=0的一个根，即方程有实根，判别式△≥0，结合m是方程的根，代入一定成立，即可作出判断．
【解析】
①因为a+c=0，a≠0，所以①a、c异号，所以△=b2-4ac＞0，所以方程有两个实数根；
②若方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根，则△=b2-4ac＞0，所以方程cx2+bx+a=0也一定有两个不等的实数根；
③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，当c=0时，ac+b+1=0不一定成立；
④若m是方程ax2+bx+c=0的一个根，所以有am2+bm+c=0，
即am2=-（bm+c），
而（2am+b）2=4a2m2+4abm+b2=4a[-（bm+c）]+4abm+b2=-4abm-4ac+4abm+b2=b2-4ac．
所以①④成立．
故选D．