Question

如图，在△ABC中，AB=AC=1，∠A=45°，边长为1的正方形的一个顶点D在边AC上，与△ABC另两边分别交于点E、F，DE∥AB，将正方形平移，使点D保持在AC上（D不与A重合），设AF=x，正方形与△ABC重叠部分的面积为y．
（1）求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；
（2）x为何值时y的值最大？
（3）x在哪个范围取值时y的值随x的增大而减小？

Answer

（1）当点D保持在AC上时，正方形与△ABC重叠部分为直角梯形DEBF，根据直角梯形的面积公式，只需用含x的代数式分别表示出上底DE、下底BF及高DF的长度即可．由△ADF为等腰直角三角形，可得高DF=AF=x；则AD=x，下底BF=AB-AF=1-x；进而得出CD=AC-AD=1-x，再根据等腰三角形及平行线的性质可证∠C=∠CED，得出上底DE=CD1-x；根据点D保持在AC上，且D不与A重合，可知0＜AD≤1，从而求出自变量x的取值范围；
（2）由（1）知，y是x的二次函数，根据二次函数的性质，可知当x=-时，y的值最大；
（3）根据二次函数的增减性，当a＜0时，在对称轴x=-的右侧，y的值随x的增大而减小．
【解析】
（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵DE∥AB，
∴∠B=∠CED，∠AFD=∠FDE=90°，
∴∠C=∠CED，
∴DC=DE．（2分）
在Rt△ADF中，∵∠A=45°，
∴∠ADF=45°=∠A，
∴AF=DF=x，
∴，（3分）
∴，（4分）
∴y=（DE+FB）×DF=（1-x+1-x）x=-（+1）x2+x．
∵点D保持在AC上，且D不与A重合，
∴0＜AD≤1，
∴0＜x≤1，
∴0＜x≤．
故y=-（+1）x2+x，自变量x的取值范围是0＜x≤；（8分）

（2）∵y=-（+1）x2+x，
∴当＜时，y有最大值；（10分）

（3）∵y=-（+1）x2+x，0＜x≤，-＜0，
∴当时，y随x的增大而减小．（14分）