Question

已知关于x的方程，
（1）求证：无论k取什么实数，这个方程总有实数根；
（2）如果等腰三角形的腰和底分别是这个方程的两根：①求这个三角形的周长（用含k的代数式表示）；②求k的取值范围．

Answer

（1）先求出△，变形为△=（2k-3）2，得到△≥0，根据△的意义即可得到结论；
（2）利用求根公式先求出方程的两根x1=2，x2=2k-1，然后分类推论：当以2为腰或当以2为底，分别求出三角形的周长，再利用三角形的三边关系分别得到k的取值范围．
【解析】
（1）∵△=（2k+1）2-4×4（k-）
=4k2+4k+1-16k+8
=4k2-12k+9
=（2k-3）2，
∵（2k-3）2，≥0，
∴△≥0，
∴无论k取什么实数，这个方程总有实数根；

（2）∵x=
∴x1=2，x2=2k-1，
①当以2为腰，2k-1为底，则三角形的周长为2k+3；
当以2为底，2k-1为腰时，三角形的周长为4k．
②当以2为腰，2k-1为底时，＜k＜；
当以2为底，2k-1为腰时，k＞1．