Question

设a，b，c为互不相等的实数，且满足关系式：b²+c²=2a²+16a+14①bc=a²-4a-5②．求a的取值范围．

Answer

先通过代数式变形得（b+c）2=2a2+16a+14+2（a2-4a-5）=4a2+8a+4=4（a+1）2，即有b+c=±2（a+1）．有了b+c与bc，就可以把b，c可作为一元二次方程x2±2（a+1）x+a2-4a-5=0③的两个不相等实数根，由△=4（a+1）2-4（a2-4a-5）=24a+24＞0，得到a＞-1．再排除a=b和a=c时的a的值．先设a=b和a=c，分别代入方程③，求得a的值，则题目要求的a的取值范围应该是在a＞-1的前提下排除求得的a值．
【解析】
∵b2+c2=2a2+16a+14，bc=a2-4a-5，
∴（b+c）2=2a2+16a+14+2（a2-4a-5）=4a2+8a+4=4（a+1）2，
即有b+c=±2（a+1）．
又bc=a2-4a-5，
所以b，c可作为一元二次方程x2±2（a+1）x+a2-4a-5=0③的两个不相等实数根，
故△=4（a+1）2-4（a2-4a-5）=24a+24＞0，
解得a＞-1．
若当a=b时，那么a也是方程③的解，
∴a2±2（a+1）a+a2-4a-5=0，
即4a2-2a-5=0或-6a-5=0，
解得，或．
当a=c时，同理可得或．
所以a的取值范围为a＞-1且且．