Question

如图，直线y=x+2分别交x、y轴于点A、C，P是该直线上在第一象限内的一点，PB⊥x轴，B为垂足，S_△ABP=9．求：
（1）求点A、C的坐标；
（2）求反比例函数解析式；
（3）设点R与点P在同一个反比例函数的图象上，且点R在直线PB的右侧，作RT⊥x轴，T为垂足，当△BRT与△AOC相似时，求点R的坐标．

Answer

（1）要求点A、C的坐标，因为点A、C分别在x、y轴上．可以设出A（a，0），C（0，c）代入直线的解析式可知．
（2）证明△AOC∽△ABP，利用线段比求出BP，AB的值从而可求出点P的坐标即可；
（2）设R点坐标为（x，y），求出反比例函数．又因为△BRT∽△AOC，利用线段比联立方程组求出x，y的值．
【解析】
（1）设A（a，0），C（0，c）由题意得

解得：
∴A（-4，0），C（0，2）

（2）根据已知条件可得A点坐标为（-4，0），
C点坐标为（0，2），
即AO=4，OC=2，
又∵S△ABP=9，
∴AB•BP=18，
又∵PB⊥x轴⇒OC∥PB，
∴△AOC∽△ABP，
∴=即 =，
∴2BP=AB，
∴2BP2=18，
∴BP2=9，
∴BP=3，
∴AB=6，
∴P点坐标为（2，3）；
设反比例函数的解析式为，
由题意得，解得k=6
∴反比例函数的解析式为；

（3）设R点的坐标为（x，y）
∵P点坐标为（2，3），
∴反比例函数解析式为y=，
当△BTR∽△AOC时，
∴，
即 =，
则有 ，
解得 ，
当△BRT∽△COA时
∴，
即 =
解得x1=3，x2=-1（不符合题意应舍去）
∴R的坐标为（）或（3，2）．