Question

如图（1），在△ABC中∠ABC=45°，∠A＜90°，H是高AD与BE的交点，求证：BH=AC．
如图（2），在△ABC中∠ABC=45°，∠A＞90°，H是高AD与BE所在直线的交点，则BH=AC还成立吗？先画出图形，再证明你的猜想．

Answer

（1）可通过全等三角形来证BH=AC，那么关键是证三角形ADC和BDH全等．已知的条件有一组直角，∠DAC和∠EBC都是∠C的余角，因此也相等，只要再证得一组对应边相等即可得出结论．我们发现∠ABC=45°，因此三角形ABD是等腰直角三角形，因此AD=BD，这样两三角形全等的所有条件就都凑齐了，即可得出BH=AC的结论．
（2）同（1）的方法完全相同，也是通过证明三角形HBD和ADC全等来证得．
【解析】
（1）证明：如图①，
∵∠DAC+∠C=90°，∠EBC+∠C=90°，
∴∠DAC=∠EBC．
∵∠ABC=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形．
∴AD=BD．
又∵∠ADC=∠BDH，
∴Rt△BDH≌Rt△ADC．
∴BH=AC．

（2）如图②，HB=AC仍然成立．
证明：∵∠H+∠HAE=90°，∠C+∠CAD=90°，
又∵∠HAE=∠DAC，
∴∠H=∠C．
∵∠ABC=45°，∠ADB=90°，
∴三角形ABD是等腰直角三角形．
∴AD=BD．
又∵∠BDH=∠ADC，
∴Rt△BDH≌Rt△ADC．
∴BH=AC．