Question

（1）如图所示，在网格坐标系中，顶点在格点上的矩形ABCD被分割成四块全等的小矩形①，②，③，④，并经过一次或二次变换拼成正方形A₁B₁C₁D₁．试写出小矩形从①⇒⑤、③⇒⑦一种变换过程；
（2）对任意一个矩形按（1）的方式实施分割、变换后拼成正方形．试探究矩形ABCD的周长与面积分别与正方形A₁B₁C₁D₁的周长与面积的大小关系，并用代数方法验证你的结论．

Answer

（1）从①⇒⑤只是进行了平移，③⇒⑦既向右平移，还进行了旋转；
（2）设出小矩形的边长，分别表示出两个图形中的周长和面积．
【解析】
（1）矩形⑤是可由矩形①向右平移10个单位得到，（3分）
矩形⑦是可由矩形③先绕矩形的右下角定点顺时针转90°后再向右平移2个单位而得到；

（2）周长相等，正方形的面积大于或等于矩形面积；（10分）
验证如下：
设小矩形的边长为a、b，则原矩形的面积为4ab，正方形的边长为a+b，正方形的面积为（a+b）2，周长均为4（a+b），（12分）
由于（a+b）2-4ab=（a-b）2≥0，（13分）
所以（a+b）2≥4ab，
即正方形的面积≥矩形的面积，当a=b时两面积相等．（14分）